数值处理算法：高精度乘法

1. 高精度乘法

高精度乘法的思路也比较简单，就是按照手算乘法的方式，从低位到高位逐位计算乘积，并且需要注意处理进位。具体来说，设被乘数为 $a$，乘数为 $b$，则在第 $i$ 位上的乘积为 $a_i \\times b_j$，它的个位为 $(a_i \\times b_j) \\bmod 10$，它的十位为 $(a_i \\times b_j) \\div 10$。我们可以用两个循环来分别枚举 $a$ 和 $b$ 的每一位，并将它们对应的乘积累加到最终结果中。下面是一个用 C++ 实现的高精度乘法的例子：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 10010;

struct BigNum {
    int len, a[N];

    void init() { // 初始化
        len = 0;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }

    void read() { // 读入
        init();
        string s;
        cin >> s;
        len = s.size();
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            a[i] = s[len - i - 1] - '0';
        }
    }

    void print() { // 输出
        if (len == 0) {
            cout << 0 << endl;
            return;
        }
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            cout << a[i];
        }
        cout << endl;
    }

    void mul(BigNum &b) { // 乘法
        int c[N];
        memset(c, 0, sizeof(c));
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < b.len; j++) {
                c[i + j] += a[i] * b.a[j];
                c[i + j + 1] += c[i + j] / 10;
                c[i + j] %= 10;
            }
        }
        len = len + b.len;
        while (len > 1 && c[len - 1] == 0) {
            len--;
        }
        memcpy(a, c, len * sizeof(int));
    }
};

int main() {
    BigNum a, b;
    a.read();
    b.read();
    a.mul(b);
    a.print();
    return 0;
}