数值处理算法：高精度的加法

高精度的加法是指两个超过了机器整数存储范围的数相加的算法。通常使用数组来存储这些数，每个元素存储这个数的一位数字。高精度加法的核心思想就是模仿手算加法，从低位到高位逐位相加，处理好进位即可。

具体来说，高精度加法的步骤如下：

1. 将两个加数对齐，不足的高位补零。

2. 从低位开始，对每一位进行相加。

3. 处理进位：如果当前位的和超过了 $10$，则需要向高位进位 $1$。

4. 处理最高位的进位：如果最高位的和超过了 $10$，则需要在结果的最高位再加上 $1$。

下面是一个用 C++ 实现的高精度加法的例子：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 10010;

struct BigNum {
    int len, a[N];

    void init() { // 初始化
        len = 0;
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }

    void read() { // 读入
        init();
        string s;
        cin >> s;
        len = s.size();
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            a[i] = s[len - i - 1] - '0';
        }
    }

    void print() { // 输出
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            cout << a[i];
        }
        cout << endl;
    }

    void add(BigNum &b) { // 加法
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < len || i < b.len; i++) {
            int s = a[i] + b.a[i] + t;
            a[i] = s % 10;
            t = s / 10;
        }
        if (t) {
            a[len++] = t;
        }
    }
};

int main() {
    BigNum a, b;
    a.read();
    b.read();
    a.add(b);
    a.print();
    return 0;
}

在这个例子中，我们使用 BigNum 结构体来表示一个高精度数。其中，len 表示该数的位数，a 数组存储每一位数字。在 read 函数中，我们将字符串倒序存储在 a 数组中。在 add 函数中，我们从低位到高位逐位相加，并处理好进位。最后，在 print 函数中，我们将 a 数组倒序输出即可。注意，由于我们倒序存储了每一位数字，所以在输出时需要从高位到低位输出。

需要注意的是，如果使用 long long 类型存储每一位数字，那么可以处理 $19$ 位以内的高精度数，如果要处理更大的数，就必须使用数组或字符串

对于高精度加法，我们还可以实现一些常见的运算，例如减法、乘法和除法。这些运算都可以采用类似于高精度加法的方法来实现。