递推法
递推法是一种通过已知条件推导未知条件的方法。在计算机科学中，递推法通常被用于解决各种计算问题，如数列求和、最短路径等问题。
递推法基于一个重要的思想：通过已知条件推导未知条件。具体来说，递推法从已知的问题状态出发，通过计算得到下一个问题状态的解，直到得到最终问题状态的解。
在递推法中，我们通常需要确定以下三个要素：
递推公式：递推公式描述了如何从一个问题状态计算下一个问题状态的解。例如，在数列求和问题中，递推公式可以描述为$sum_i = sum_{i-1} + a_i$，其中$a_i$是数列中第$i$个数，$sum_i$是前$i$个数的和。
初始条件：递推公式需要一个起始点，也就是一个已知状态。在数列求和问题中，初始条件是$sum_1 = a_1$。
终止条件：递推法需要一个终止点，也就是一个问题状态的解。在数列求和问题中，终止条件是$sum_n$，其中$n$是数列中数的总数。
递推法通常使用循环结构实现。我们首先通过给定的初始条件计算出第一个问题状态的解，然后使用递推公式计算出下一个问题状态的解，重复这个过程直到得到终止条件的解。
下面是一个简单的例子，使用递推法计算斐波那契数列的前$n$项：
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
int f[100];
f[0] = 0;
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cout << f[i] << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}在这个例子中，我们使用一个数组$f$来保存斐波那契数列的前$n$项。我们首先给$f[0]$和$f[1]$赋值，然后使用循环结构计算$f[i]$，最后输出数组$f$。
另一个例子是使用递推法求解最长递增子序列的长度。最长递增子序列问题是指给定一个序列，找到其中一个子序列，使得子序列中的数按顺序递增，并且子序列的长度最长。
最长递增子序列问题可以使用动态规划方法来解决，也可以使用递推法。在这里，我们展示使用递推法求解最长递增子序列问题的代码实现。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
int a[1000];
int dp[1000];
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> a[i];
dp[i] = 1;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (a[j] < a[i]) {
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
ans = max(ans, dp[i]);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}在这个例子中，我们使用一个数组$dp$来保存最长递增子序列的长度。我们首先将$dp$数组的每个元素初始化为1，然后使用递推公式$dp[i] = \\max(dp[j]+1)$计算$dp[i]$。其中，$j<i$且$a[j]<a[i]$，表示$a[j]$可以加入以$a[i]$结尾的子序列中。
最后，我们遍历$dp$数组，找到其中的最大值，即为最长递增子序列的长度。
另一个使用递推法求解的例子是Fibonacci数列。Fibonacci数列是一个非常经典的数列，定义为：$F_0=0,F_1=1$，$F_i=F_{i-1}+F_{i-2}$（$i\\geq2$）。也就是说，这个数列的前两个数是0和1，从第三个数开始，每个数都等于前面两个数的和。
使用递推法求解Fibonacci数列的值非常简单，只需要根据定义编写代码即可：
#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
int f[100];
f[0] = 0, f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
cout << f[n] << endl;
return 0;
}在这个例子中，我们使用一个数组$f$来保存Fibonacci数列的值。我们首先将$f$数组的前两个元素初始化为0和1，然后使用递推公式$f[i] = f[i-1] + f[i-2]$计算$f[i]$。最后，输出$f[n]$的值，即为Fibonacci数列的第$n$个数的值。
注意，在这个例子中，我们需要计算$f[n]$，因此循环的范围是$2\\leq i\\leq n$。而不是$1\\leq i\\leq n$。
